《 精英日課．數學題：為什麼絕大多數投資者都會輸給市場 》

 

今天我們來思考一個數學問題，這個數學問題有助於我們理解一個看似有點反常識的道理，那就是為什麼絕大多數投資者都會輸給市場。

 

如果你去考察華爾街那些金融機構，什麼各種基金，也包括所有的個人投資者，你看他們一年下來的投資成長，其中絕大多數，都不如標準普爾指數的增長。投資界公認，打敗標準普爾指數非常非常難。哪家公司打數了標準普爾，那絕對是值得吹噓的成就。

 

可你是你想想，這好像不對啊？標準普爾指數是從股市中選出 500 隻股票的平均增長，它代表的只是一個平均水平。比平均成績好，怎麼會難呢？

 

今天我們要說就是這個道理。我要用的例子是來自於一本叫《一個數學家玩轉股票市場 ( A Mathematician Plays The Stock Market ) 》的書，作者是約翰．保羅士 ( John Paulos ) 是一位數學家。 — 事實上保羅士因為在股市上賠了很多錢，痛定思痛，才寫了這本書。我覺得這本書很適合勸人不要炒股。

 

保羅士編了一數學題。

 

我們知道，新股剛上市的時候，股價波動往往很大。我們假設，任何一隻股票 IPO 第一周，股價要嘛上漲 80%，要嘛下跌 60%，可能性各佔一半 ( 50% )。

 

漲幅比跌幅大，機會啊！！

 

那我們能不能搞一定投資策略，每個星期一都買一隻 IPO 的股票，然後在星期五把它賣了。我的資金有一半的可能性會上漲 80%，有一的可能性會下跌 60%，平均下來，數學期望值是賺 10%，對吧？ 

 

那如果我每周都賺 10%的話，一年利滾利，那就是 1.1 的 52 次方，如果我投入了 1 萬元，到年底我會有 142 萬元。

 

這 142 萬元，就是市場的平均回報。但是這可不是你最有可能拿到的回報。

 

你最有可拿到的回報是什麼呢？假設你總共有 1 萬元，你每周一把錢全投進去買 IPO 的股票，周五再全部賣掉，下周一再把錢全部投進去。如果你這麼做，最有可能的結果是，52周下來，你剩 1.95 元。

 

我們來算算。你最可能面對的結果是 50% 的時間裡，你的資金增長 80%，在另外 50%的時間裡，你的資金下跌 60%。你的資金要乘以 1.8 倍的 26 次，乘以 0.4 倍的 26 次，結果就是你平均每兩周虧 28%，一年後就變成 1.95 元。

 

那麼問題來了，前面時那個 142 萬元的平均收入又是從哪來的呢？這其實是假設沒有很多很多個投資者都在市場裡使用這個策略買賣股票。其中有人比較幸運，遇到很多周期都是增長 80% ，很少周期是下漲 60%。而那些不幸的人則是很多周期下跌 60%，在很少的周期上漲 80%。

 

其中最幸運的那個人，是連續 52 周全都是上漲 80%，他的收入就是 10,000 x 1.8 的 52 次方，等於 1.88 x 10 ^ 13萬。而最不幸的人，也不過就是把錢賠光了，並不會出現一個負數。把幸運者和不幸者都加在一起，取個平均數，結果就是每個人賺了 142 萬元。

 

如果你的初等數學還很熟，你會立即注意到，所謂最可的結果，其實就是用1.8 和 0.4 兩個〝幾何平均值〞算出來的；而所謂〝市場平均結果〞，則是用 1.8 和 0.4 的算術平均值算出來的。而數學告訴我們，幾何平均值總是小於算數平均值。

 

這就是為什麼個人最大可能性是打不過市場。我們為了突出說明問題，用了一組極端的數字，但〝幾何平均值總是小於算數平均值”這個性質對所有的數字都是適用的。換一組數字你不一定會賠錢，但你還是無法打敗市場。

 

一群人做一件事取得的平均值，和一個人經歷這件事很多很多次，是不一樣的。

 

我再換個說明你就更容易理解了，市場上特別幸運的人，會獲得巨額收入，他們強烈地拉高平均值。而特別不幸和中等幸運其實表現的差不多，最多也就是帳戶清零而已，並不會強烈拉低平均值。那麼結果就是平均值受到了少數幸運者的強烈影響。

 

總結一下，買股票一共有三種方法，以我們今天設定的為例。

 

1. 總共有1萬元資金，每次都投入一隻股票，運氣特別好的話可以賺很多錢，但最可能的結局是幾何平均值，變成 1.95 元。

 

2. 總共有52萬元資金，每周投入1萬元買股票，周未賣出。結果是一年下來有 10% 的利潤，變成 57.2 萬元。

 

3. 如果資金和時間充裕到可以不顧交易成本，去買市場的所有股票，那麼按照市場算平均值滾雪球，一年下來變成 140 倍。

 

當然因為我們設定了 80% 和 60% 這兩個大數字，這個結果顯得比較誇張，但意思是這個意思。這一種是個人常見的投資方法。第二種是小打小鬧。第三種是大盤指數。

 

生活中其實也一樣，台灣的平均收入一公布，就有很多人表示自己給台灣拖後腿了 — 絕大部份人的收入都是在平均水平之下。這完全符合數學，根本原因就是收入特別高的人貢獻太大了。

 

如果台灣政府允許大家選擇全民領頁平均工資，我想大多數人都樂意的。而在股市上，那就是別自己胡亂選股了，老老實實的買指數基金。這恰恰就是巴菲特最愛給人的炒股建議。